چکیده: با اینکه مثالهای معدودی از توابع تحلیلی ستاره‌گون (به ترتیب، محدب) یکنواخت و همساز کاملاً ستاره‌گون (به ترتیب، محدب) موجود است، با این حال مثالهایی از خانواده های جدید همساز ستاره‌گون (به ترتیب، محدب) یکنواخت ارائه خواهیم داد، هرچند توابعی که در این تعاریف صدق می کنند بسیار محدود و با اهمیت ویژه اند. همچنین شروط لازم و یا کافی ارائه می دهیم که مطابق آن ها توابعی همساز، ستاره‌گون (به ترتیب، محدب) یکنواخت شوند. در این باره از ذکر نتایج اخیر در این زمینه فروگذار نخواهیم نمود. پیچش روی توابع تحلیلی و همساز ابزاری جانبی جهت بررسی رده ی توابع تک ارز بشمار می آید. آنچه از پیچش روی توابع تحلیلی تک ارز انجام شده، توانائی این روش را به اثبات رسانده و نیز عملکرد آن روی توابع همساز، نظیر تعمیم رده های قبلی از توابع همساز، اعمال پیچش روی توابع همساز رده های مختلف نظیر ستاره‌گون و محدب و نزدیک-به-محدب و غیره از این قبیل مسائل بشمار می روند. کارهای اخیر برخی مولفان در چند سال اخیر، تنها نشان دهنده تکامل بخش کوچکی از توانمندی این روش است. ما نیز از روش پیچش برای دستیابی به نتایج استفاده خواهیم کرد. مطلب دیگری که در انتها به آن می پردازیم توابع دو-تک ارزند که از زیررده های ‎ S ‎ بوده و در زمینه یافتن کران ضرایب دارای اهمیت ویژه ای هستند. نتایجی که العشوه یافته، تعمیمی از چند رده ی قبلی است و در اینجا با تعمیمی از رده ی مذکور و با استفاده از پیچش، نشان می دهیم کران های ضرایب ‎|a2| و ‎|a3|‎ یافته شده، حالات کلی تری از روشهای قبلی را شامل خواهند شد. پس • این اثر اختصاص دارد به مطالعه در زیررده هائی از توابع مختلط تک ارز اعم از تحلیلی و همساز در قرص واحد ‎ D ‎. • رده های معینی از توابع ستاره‌گون و محدب تک ارز معرفی شده اند. • این رده های تحلیلی و تک ارز از توابع، به زیررده های جدیدی یکپارچه شده اند. • نتایج اصلی از خواص شمولی و پیچشی زیرکلاس های جدید بدست آمده اند. • زیررده ای از توابع تحلیلی دو-تک ارز تعریف و کران ضرایب نخستین برای این زیررده از طریق لم کاراتئودوری و اصل تابعیت حاصل شده است.