چکیده: در دنیای اطراف ما، وضیعت های فراونی وجود دارند که می توان توسط نظریه گراف به توصیف آنها پرداخت. به عنوان مثال، فرض کنید که کشور ها نماینده رئوس در گراف و یال ها هم روابط ممکن بین کشور ها باشند. مجموعه چند کشور تشکیل یک اتحاد می دهند هرگاه هر کشور در داخل آن مجموعه حداقل همان اندازه که دوست دارد به همان اندازه دشمن در خارج این مجموعه داشته باشد. به عبارت دیگر مجموعه هایی از رئوس در گراف تشکیل اتحاد می دهند هرگاه هر رأس در این مجموعه، حداقل همان اندازه که با رئوس داخلی مجموعه مجاور است به همان اندازه مجاور، با رئوس بیرونی این مجموعه باشد چنین اتحادی را اتحاد دفاعی می گوییم که اولین بار توسط استیفان هدیتنمی و همکارانش در سال 2001 در مقاله ای تحت عنوان اتحاد در گراف مطرح شد. از آن پس این موضوع مورد بحث و بررسی قرار گرفت که در سایه این تلاش ها اتحادهای دیگری هم تعریف شد که شامل اتحاد تهاجمی و اتحاد نیرومند است. اخیراً در سال 2007 رابرت سی بریقام و همکارانش تعریف جدیدی به عنوان مجموعه امن ارائه کردند که تعریف شان مبتنی بر زیرمجموعه های یک مجموعه بود. در فصل اول مفاهیم و مقدمات نظریه گراف که در فصل های بعد به آن نیازمندیم را یاد آوری می کنیم. در فصل دوم اتحادها را به طور کامل بررسی خواهیم کرد. در فصل سوم شرایط لازم و کافی براینکه یک مجموعه امن باشد را معین می کنیم و در آخر این فصل کران هایی برای کوچکترین مجموعه امن بدست می-آوریم. همچنین در فصل چهارم ما اتحاد باز که یکی از مسایل باز است را مورد مطالعه قرار می دهیم و بسیاری از خواص این مفهوم را استخراج کرده، سپس روی کران های آن بحث می کنیم.