چکیده: مشبکه های باناخ به طور طبیعی در بسیاری از حوزه های آنالیز ظاهر میشوند. آن ها یک منبع گسترده از فضاهای باناخ با ویژگی های غیربدیهی را فراهم می کنند. در این رساله، ابتدا بهترین ε−تقریب همزمان در فضاهای مشبکۀ باناخ کامل را تعریف می کنیم. سپس، یک روشی را ارائه می دهیم که بهترین ε−تقریب همزمان را شناسایی و مشخص می کند. همچنین، مفاهیم ε−خورشیدها و ε−خورشید همزمان را تعریف کرده و خصوصیات این مفاهیم را بررسی می کنیم. در نهایت، قضیۀ Ⅿ اصلاح شده را برای مجموعه های محدب در حالت ε−تقریب همزمان اثبات می نماییم. در ادامه بهترین ε−تقریب همزمان را برای S− خورشید و BS− خورشیدها که گسترش یافتۀ مفاهیم خورشیدها در فضاهای باناخ هستند، مطرح می شود. ما مفهوم ε−تقریب همزمان را معرفی کرده و بهترین ε−تقریب همزمان را برای مفاهیم S− خورشید و BS− خورشیدها مشخصه سازی می کنیم. همچنین شرایط لازم و کافی برای مطالعۀ بهترین تقریب مجموعه ها که با مجموعه های پروکسیمال(تقریب پذیر) متناظر نیستند را ارائه میدهیم. این مجموعه های جدید را “مجموعه های Ⅾu ” می نامیم. “ Ⅾ ” و “ u ” به ترتیب، به مجموعه های رو به پایین و رو به بالا اشاره دارد. مجموعه های بستۀ Ⅾu لزوما محدب، رو به بالا، رو به پایین یا ستاره گون نیستند، اما هنوز پروکسیمال هستند. همچنین، برخی نتایج مفید و کاربردی برای این مجموعه ها را بدست خواهیم آورد. در ادامه به مطالعه و مشخصه سازی ε−تقریب های همزمان مجموعه های Ⅾu می پردازیم و برخی از نتایج را مورد بحث قرار می دهیم. یکی از مهمترین نتایج این است که ما به بررسی چگونگی تقریب این مجموعه ها که با مجموعه های پروکسیمال متعارف متناظر نیستند، می پردازیم.