چکیده: نظریه بهترین تقریب همزمان در شاخه های مختلفی از ریاضیات از جمله بهینه سازی‏، آنالیز عددی‏، اقتصاد و غیره به کار برده می شود. مثال ساده این بحث یافتن نقاطی از یک مجموعه است که نسبت به نقطه ای در فضا دارای کمترین فاصله باشد. در این پایان نامه مساله بهترین تقریب‏، بهترین تقریب همزمان‏، ‎ -fبهترین ‎تقریب و-fبهترین ‎تقریب همزمان‏ در فضاهای مختلف را مورد بررسی قرار می دهیم و به دنبال شرایطی هستیم که تحت آن شرایط یک مجموعه پروکسیمینال‏، به طور همزمان پروکسیمینال‏، ‎‏‎-fپروکسیمینال‏ و به طور همزمان ‎-f‎پروکسیمینال باشد.‎‎ ‎‎ ابتدا بهترین‎‎ تقریب همزمان در فضاهای خارج قسمتی‎ را معرفی می کنیم.‎ همچنین‎ خصوصیات بهترین تقریب همزمان ‎‏‎‎و به طور همزمان چبیشف ‎‎‎‎‎در فضاهای خارج قسمتی ‎را بررسی می کنیم. سپس مجموع زیرفضاهای به طور همزمان ‎‎پروکسیمینال‎‎ را معرفی می کنیم. سپس مفهوم به طور همزمان پروکسیمینال‎ در فضاهای باناخ‏‎‎ را بیان می کنیم. در ادامه زیرفضاهای به طور همزمان ‎-f پروکسیمینال و فضاهای خارج قسمتی را بررسی می کنیم. سپس مفهوم به طور همزمان ‎-f پروکسیمینال در فضاهای باناخ را معرفی می کنیم و با استفاده از مفهوم به طور همزمان -f ‎پروکسیمینال‏،‏ به اثبات برخی نتایج در مورد به طور همزمان -f ‎پروکسیمینال ‎‏بودن مجموع دو زیرفضا‎ در فضای باناخ‎ می پردازیم. علاوه بر این، مفهوم ‎-f بهترین تقریب همزمان‎ یک مجموعه متناهی ‎در فضاهای ضرب داخلی ‎‎را معرفی می کنیم. همچنین مفهوم ‎‎ ‎-fبهترین تقریب درفضاهای برداری توپولوژیکی خارج قسمتی را بررسی می کنیم.‎