چکیده: فرض کنید 1≤k باشد. گوییم دو رأس به صورت k– مرحله ای یکدیگر را احاطه می کنند هرگاه در فاصله ی دقیقا k از هم باشند. مجموعه ی S از رأس های گراف G را یک مجموعه ی احاطه گر k– مرحله ای می نامیم هرگاه هر رأس در G توسط برخی رأس های S احاطه شود. کوچکترین اندازه از یک مجموعه ی احاطه گر k - مرحله ای را عدد احاطه گری k - مرحله ای، γkstep(G) ، می نامیم. در این ‏رساله، ما به مطالعه این پارامترها پرداخته و برخی از ویژگی‎ ها و کران های موجود برای اعداد احاطه‌گری مرحله‌ای را ‏بررسی می‎ کنیم و برخی کران های مطرح شده برای گراف های احاطه‎ ‏گر 1-مرحله‎ ‎ ‏ای دقیق را بهبود داده و شرایطی که تساوی برای آن ها برقرار می باشد را بیان می کنیم. همچنین‎ نشان می ‎ دهیم برای هر‎ 2≤k مسئله ‎ های تصمیم برای مجموعه ‎ های احاطه ‎ گر k - مرحله ای و احاطه‎ گر k-‎ جهشی در گراف ‎ های دوبخشی مسطح و گراف ‎ های وتری مسطح NP‎‎-کامل می ‎ باشد. ‎‎ سپس قوی ‎‏ ترین مجموعه ‎‏ ی احاطه ‎‏ گر در گراف فازی را مورد بررسی قرار می‌دهیم و ‏قدرت قوی ‎‏ ترین مجموعه ی احاطه ‎‏ گر در گراف فازی را برای گراف‎ ‎‏ های کامل فازی و دوبخشی کامل فازی به دست می ‎ ‏آوریم. ‎‎‎‎‎‎