چکیده: فرض کنیم ‎G‎ یک گروه باشد. مرکز ‎G‎، را با Z(G) نشان می‌دهیم. گراف جابجایی از یک گروه ناآبلی ‎G‎ که با Γ(G) ‎ نشان داده می‌شود گراف ساده بدون جهت است که رئوس آن عناصر غیر مرکزی ‎G‎ هستند و دو رأس متمایز ‎ و ‎ مجاورند اگر وتنها اگر xy=yx ‎. حال این سوال مطرح است که آیا می‌توان قطری برای گراف جابجایی گروه‌های متناهی پیدا کرد که بیشتر از قطر شناخته شده برای گروه متقارن S_n ‎ یعنی ‎5‎ باشد. این سوال انگیزه‌ی اصلی ما برای این پایان‌نامه است. ما در این پایان‌نامه خواهیم دید که گروه تمام ماتریس‌های معکوس‌پذیر از بعد ‎3‎ روی میدان ‎Z_3 همبند بوده و دارای گراف جابجایی با قطر بین ‎4‎ و ‎6‎ هستند. گروه تمام ماتریس‌های معکوس‌پذیر از بعد ‎2‎ با درایه‌های اعداد صحیح دارای گراف جابجایی با قطر دقیقاً ‎3‎ هستند. اگر G‎ گروه حل‌پذیر نامتناهی غیربدیهی با مرکز بدیهی باشد آنگاه Γ(G)‎ همبند بوده و دارای قطر حدکثر ‎7‎ است.