چکیده: مسئله کلاه: یک تیم متشکل از n بازیکن وارد یک اتاق شده، هر بازیکن به طور تصادفی و مستقل با یک کلاه به رنگ آبی یا قرمز در سر خود مشخص می شود. بازیکنان هیچ تصوری از رنگ کلاه خود ندارند، بدون این که با هم در ارتباط باشند؛ به طور همزمان هر بازیکن باید رنگ کلاه خود را با نگاه کردن به رنگ کلاه دیگر بازیکنان حدس بزند. اگر حداقل یکی از بازیکنان رنگ کلاه خود را درست حدس بزند و حدس دیگر بازیکنان نادرست نباشد تیم برنده است در غیر این-صورت تیم بازنده است. هدف ماکزیمم کردن احتمال برنده شدن تیم است. در این پایان نامه مسئله کلاه را روی گراف در نظر می گیریم. رئوس، متناظر با بازیکنان و مشاهده های هر بازیکن را با یک یال نشان می دهیم. مسئله کلاه را روی درختان، مسیر ها،گراف های کامل و دورها بررسی می کنیم و به طور مجزا در هر مورد عدد کلاه را به دست می آوریم. همچنین عدد کلاه را برای گراف های دو دوری را برای اولین بار به دست می آوریم. هدف در واقع به دست آوردن استراتژی بهینه و قطعی از طریق مجموعه ای از راهبردهایی که هر بازیکن به طور منحصر به فرد با توجه به رنگ کلاه دیگر بازیکنان در پیش می گیرد و به دنبال ماکزیمم کردن احتمال برنده شدن تیم هستیم. این مقدار ماکزیمم، عدد کلاه در گراف نامیده می شود و آن را با نماد h(G) نمایش می دهیم.