چکیده: در این پایان‌نامه، رهیافت‌هایی عددی برای حل معادلات دیفرانسیل کسری با مرتبه متغیر ارائه می‌شود که می‌توانند پدیده‌های پیچیده دارای حافظه وابسته به زمان، مکان یا غلظت را مدل‌سازی کنند. ابتدا، مرور جامعی بر مبانی ریاضی، مدل‌های فیزیکی و روش‌های عددی موجود برای این معادلات صورت می‌گیرد. سپس، یک روش تفاضل متناهی صریح جدید برای حل مسائل مقدار مرزی-مقدار اولیه و نیمه‌خطی در مرتبه کاپوتوی مرتبه متغیر معرفی شده است که پایداری شرطی آن به‌طور ریاضی اثبات می‌گردد. در ادامه، برای حل دسته‌ای از مسائل کاربردی‌تر، الگوریتم آدامز-بشفورت–مولتون برای حل معادلات کسری مرتبه متغیر با تأخیر زمانی توسعه یافته و تحلیل خطای نظری آن ارائه می‌شود. دقت دو روش با مثال‌های شبیه‌سازی، از جمله حل مسائل متنوعی از حوزه‌های انتشار، انفجار، پویایی جمعیت و سینتیک شیمیایی به‌صورت عددی و گرافیکی اعتبارسنجی شده و قابلیت آن‌ها در نمایش رفتارهای پیچیده‌ای چون آشوب مورد بررسی قرار می‌گیرد.