چکیده: در این تحقیق، ابتدا ولگشت کلاسیکی روی خط را با استفاده از یک سکه معرفی می‌کنیم. سپس به مطالعه ولگشت کوانتومی در یک بعد می‌پردازیم. فضای هیلبرت را برای ولگشت کوانتومی تعریف می‌کنیم که دارای فضای مکان و فضای سکه می‌باشد. در ولگشت کوانتومی به جای سکه از عملگر سکه استفاده می‌شود بنابراین اثر آن را بر حالت ولگشت بررسی می‌کنیم. نشان خواهیم داد که چگونه با داشتن هر حالت و استفاده از عملگر تحول می‌توانیم حالت بعد را بسازیم. با استفاده از تبدیل فوریه، فضای مکان مربوط به ولگرد به صورت یک ماتریس 2×2تبدیل می‌شودکه با قطری کردن ماتریس ویژه‌مقادیر و ویژه‌بردارهای ولگشت کوانتومی روی خط را تعیین می‌کنیم. با استفاده از عکس تبدیل فوریه توزیع دامنه ولگشت را در پایه مکان محاسبه می‌کنیم. در ادامه ویژگی مجانبی ولگشت کوانتومی را برای تعداد گام‏ها‌ی زیاد بررسی می‌کنیم. توزیع دامنه‌ ولگشت کوانتومی در پایه‌ی مکان را برای تعداد گامهای زیاد با استفاده از روش فاز پایا تخمین می‌زنیم. سپس مدلی دیگر از ولگشت کوانتومی به نام ولگشت کوانتومی بدون سکه در یک بعد را معرفی می‌کنیم. ارائه شده‌است. فضای هیلبرت مربوط به ولگشت کوانتومی فقط دارای فضای مکان می‌باشند و فضای سکه‌ای وجود ندارد. دو حالت سکه در اندیس مکان‌های زوج و فرد جایگزین می‌شود. با معرفی دو عملگر تحول می‌توان ولگشت کوانتومی ساخت. با استفاده از تبدیل فوریه ویژه‌مقادیر و ویژه‌بردارها را مشخص کرده و توزیع دامنه این نوع ولگشت کوانتومی را در فضای k بدست می‌آوریم. برای این نوع ولگشت نیز با کمک عکس تبدیل فوریه می‌توان دامنه ولگشت را در پایه مکان تعیین کرد. ویژگی‌های مجانبی ولگشت کوانتومی در حد تعداد گامهای زیاد بررسی گردیده است و انتگرال‌های ‌در حد بی‌نهایت را با استفاده از روش فاز پایا تخمین زده شده است. در این پایان‌نامه ولگشت کوانتومی بدون سکه را با ولگشت کوانتومی عادی مقایسه کرده، نقاط قوت، ضعف، شباهت‏ها و تفاوت‏های آن‌ها بررسی گردیده‌اند.