چکیده: انتگرال کلاسیک برای مدل سازی پدیده های دارای حافظه و غیر موضعی جایگاه ویژه ای در علوم کاربردی و مهندسی یافته است با وجود غنای نظریه موجود پیاده سازی عملی این مفهوم به دلیل ماهیت انتگرالی و دشوار عملگرهای کسری همواره نیازمند توسعه و تحلیل روشهای عددی دقیق و کارآمد بوده است. این پایان نامه با هدف مرور نظام مند تحلیل مقایسه ای و ارائه چارچوبی یکپارچه از روشهای عددی برای محاسبه انتگرالها و مشتقات کسری تدوین شده است. در این پایان نامه به دسته بندی و تحلیل روشهای عددی موجود از قبیل روشهای مبتنی بر درونیابی روشهای طیفی روشهای چندگامی خطی کسری و روشهای مبتنی بر پایه های شعاعی برای محاسبه انتگرالها و مشتقات کسری میپردازیم و مبانی تحلیل خطا پایداری و همگرایی هر یک را مورد بررسی قرار می دهیم سپس با تمرکز بر مبانی اصل موضوعی حساب دیفرانسیل و انتگرال کسری به تبیین دقیق تعریف مشتقات کسری در چارچوب عملگرهای انتگرال مشتق کسری و اثبات قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال برای این عملگرها میپردازیم این پایان نامه شفافیت لازم در خصوص شرایط صحت قضیه مذکور و ارتباط ریاضی بین تعاریف مختلف مشتق کسری را فراهم می سازد. در این پژوهش با تلفیق دیدگاههای روش محور و اصل محور تلاش میشود تا نه تنها فهرستی از روش های عددی ارائه گردد بلکه مبنای نظری انتخاب هر روش محدودیتهای آن و معیارهای بهینه سازی بر اساس نوع مسئله دقت مورد نیاز و کارایی محاسباتی تشریح شود. در نهایت این چارچوب یکپارچه میتواند به عنوان راهنمایی برای پژوهشگران و مهندسان در انتخاب و پیاده سازی روشهای عددی مناسب برای حل معادلات دیفرانسیل کسری در حوزه هایی نظیر مکانیک ماده پیوسته ترمودینامیک پردازش سیگنال و دستگاههای دینامیکی کاربرد داشته باشد