چکیده: چکیده در این رساله، حل عددی و تحلیل رفتار نوسانگر وندرپل با مشتق کسری کاپوتو مرتبه متغیر را بررسی می کنیم. ابتدا معادله وندرپل کسری مرتبه متغیر را مدل سازی کرده و سپس این معادله را با استفاده از توابع لاگرانژ و نقاط لژاندر-گاوس-لوباتو گسسته می کنیم. با این فرآیند به یک سیستم جبری می رسیم که با حل آن متغیرها و مشتقات کسری آنها به طور همزمان به دست می آیند. ما همچنین رویکردی برای محاسبه ماتریس مشتق کسری کاپوتو مرتبه متغیر پیشنهاد می کنیم. علاوه بر این، یک الگوریتم برای حل معادله در بازه های زمانی بزرگ ارایه می کنیم. با محاسبه خطای مانده روش پیشنهادی خود، دقت بالا و کارایی آن را ارزیابی می کنیم. در ادامه، یک معادله وندرپل کسری مرتبه متغیر را معرفی می کنیم که با استفاده از مشتق کاپوتو-فابریزیو بیان شده است. روش طیفی- هم محلی پیشنهادی خود را با توجه به ویژگی های عملگر مشتق کاپوتو-فابریزیو پیاده سازی می کنیم و جواب های تقریبی و مشتقات کسری آنها را تقریب می زنیم. در این رساله جنبه های جدید معادله وندرپل کسری مرتبه متغیر با تاخیر زمانی نیز بررسی می شود. ابتدا یک شکل تعمیم یافته از این معادله را معرفی می کنیم و با درج تابع تاخیر، آن را به یک معادله وابسته به زمان معادل تبدیل می کنیم. سپس، با استفاده از روش طیفی- هم محلی بر پایه چند جمله ای لاگرانژ، معادله را گسسته می کنیم، که منجر به سیستمی از معادلات جبری می شود. با حل این سیستم جواب های تقریبی و مشتقات کسری آنها را به دست می آوریم. همچنین شکل جدیدی از معادلات وندرپل دوتایی کسری مرتبه متغیر را معرفی می کنیم که با استفاده از مشتق کسری مرتبه متغیر کاپوتو به هم متصل شده اند. از روش طیفی- هم محلی برای گسسته کردن معادله و محاسبه جواب های تقریبی و مشتقات کسری آن ها استفاده می کنیم. این روش در بازه های زمانی بزرگ پیاده سازی می شود و محاسبه خطای باقی مانده برای تایید دقت بالا و صحت آن انجام می شود. در انتهای هر فصل، نمودارهایی شامل جواب های تقریبی، صفحات فاز و خطای باقیمانده برای حالت های مختلف ارایه می شود که از طریق آن ها رفتار جواب معادلات معرفی شده را می توان با دقت تحلیل نمود.