چکیده: در این پایان نامه قصد بررسی سیستم های فضا حالت گسسته مرتبه متغیر کسری بر پایه‌ی تعاریف مختلفی از تفاضلات مرتبه متغیر کسری را داریم. علاوه بر این شرایط ضروری و کافی برای دسترس پذیری و مشاهده پذیری ارائه و اثبات شده اند. همچنین شرایط کافی برای کنترل پذیری نیز پیشنهاد شده است. پیش از این در فصل های مقدماتی به مطالعه‌ی عمیق درباره‌ی حسابِ کسری با تاکید بر عملگرهای مرتبه‌ی متغیر پرداخته ایم. فصل اولِ این پایان نامه شامل مفاهیم پایه و پیش نیاز است که در آن به مرور مختصری از حساب کسری و معرفی برخی توابع خاص پرداخته ایم. سپس تعاریفی از عملگرهای کسری مختلف را بیان و برخی از ویژگی های آنها را معرفی و در پایان فرمول های انتگرال جزء‌‌به‌جزء برای عملگر های مختلف را مرور می‌کنیم. در فصل دوم حساب تغییرات کسری را ارائه کرده ایم و به معرفی مختصری از حسابِ تغییرات کلاسیک و مرور مسائل متغیر مختلف مانند مسائل ایزوپریمتریک یا مسائل با نقاط پایانیِ متغیر می‌پردازیم سپس در پایان این فصل, قضیه‌ی حساب تغییرات کسری و تعدادی مسائل متغیر کسری با مرتبه‌ی متغیر را ارائه می‌نمائیم. در ادامه برخی نتایج جدید را روی حساب تغییرات کسری مرتبه متغیر, قاعده مند می‌کنیم. در فصل سوم, با درنظر گرفتنِ سه نوع از مشتقات کسری کاپوتو مرتبه متغیر, فرمول هایی تقریبی برای آنها ارائه کرده و کران هایی بالا برای خطای این تقریبات بدست می‌آوریم. در فصل چهارم, ترکیب مشتق کسری کاپوتو از مرتبه‌ی متغیر را معرفی و به عملگر های مرتبه بالاترِ آن تعمیم می‌دهیم, سپس معادلاتِ اویلر-لاگرانژ کسری را برای انواعِ مختلفِ مسائل کسریِ حساب تغییرات, همراه با و بدون وجود قید ها اثبات می‌کنیم. در فصل آخر, به بررسیِ سیستم های فضا حالت گسسته‌ی مرتبه متغیر کسری بر پایه‌ی تعاریف مختلفی از تفاضلات مرتبه متغیر کسری پرداخته ایم و شرایط کافی و ضروری برای دسترس پذیری و مشاهده پذیری ارائه و اثبات کرده ایم.