چکیده: درچهاردهه گذشته، جبر کوانتومی موضوع پژوهش‌های بسیاری در زمینه‌های مختلف فیزیک وریاضیات بوده است. در این رساله، فرمالیسم تغییرشکل‌یافته را مورد بررسی قرار می‌دهیم. همانطور‌که می‌دانیم فرمالیسم تغییر‌شکل‌یافته همواره حالت کلی‌تر از نظریه‌ی اولیه متناظرخود است، به گونه‌ای که اگر پارامترتغییر‌شکل‌یافته را به سمت مقدار معینی میل دهیم فرمالیسم اولیه بدست می‌آید. به چند نمونه از این نظریه‌ها اشاره می‌کنیم. مکانیک نیوتنی، حالت خاصی از مکانیک نسبیتی است که پارامتر تغییرشکل آن β=V/C است و هر گاه این پارامتر به سمت صفر میل کند مکانیک نسبیتی به مکانیک نیوتنی تبدیل می‌شود، همچنین مکانیک کوانتومی نیز تغییرشکل‌یافته مکانیک کلاسیک است. پارامتر تغییرشکل در مکانیک کوانتومی 1/h می‌باشد و هنگامی‌که این پارامتر به سمت بی‌نهایت میل کند مکانیک کوانتومی به مکانیک کلاسیکی تبدیل می‌شود. حال این گونه استنباط می‌شود که نظریه‌های تغییرشکل‌یافته همواره با وارد کردن یک پارامتر تغییرشکل‌یافته بدون دیمانسیون در یکی از روابط بنیادی، نظریه‌های اولیه بدست می‌آیند. طرح کلی این پیشنهاد به شرح زیر می‌باشد: ابتدا فرمالیسم تغییر‌شکل‌یافته معرفی شده است و در مرحله بعدی به جبر تغییرشکل‌یافته هایزنبرگ و ویل اشاره می‌کنیم، همچنین توابع مثلثاتی تغییرشکل‌یافته را مورد بررسی قرار می‌دهیم. اعداد مختلط و مزدوج اعداد مختلط را در فرمالیسم تغییرشکل‌یافته مورد مطالعه قرار می‌دهیم و عملگرهای مکان و تکانه را در این فرمالیسم بر حسب عملگرهای مکان و تکانه در فضای کوانتومی معمولی معرفی می‌کنیم، سپس با استفاده از این جبر، نظریه‌های نوسانگر هارمونیک تغییرشکل‌یافته کوانتومی و کلاسیکی را مورد مطالعه قرار می‌دهیم. در بخش بعدی مساله ذره آزاد و نوسانگر هارمونیک در فضای تغییرشکل‌یافته مورد بررسی قرار گرفته است. رفتار ذره آزاد در این فضا مشابه ذره‌ای با بار $e$ است که در فضای معمولی در یک میدان مغناطیسی حرکت می‌کند. در هر قسمت هامیلتونی‌ تغییرشکل‌یافته کوانتومی و کلاسیکی را معرفی می‌کنیم و معادله حرکت نوسانگر مربوط به اکثر این هامیلتونی‌ها را محاسبه کرده و طیف انرژی اغلب آن‌ها را بدست می‌آوریم ودر هر مرحله از این مراحل اشاره شده نتایج را در حالت حدی (پارامتر تغییرشکل‌یافته)با نتایج نظریه‌های اولیه متناظر خود مقایسه می‌کنیم. در بخش بعدی مکانیک آماری را در فرمالیسم تغییرشکل‌یافته بررسی می‌کنیم و عامل بولتزمن معمول دستخوش تغییراتی می‌شود که آن را آمار متمایز می‌نامند. حال اگر در حالت حدی مورد بررسی قرار بگیرد به عامل بولتزمن معمول خود باز می‌گردد با استفاده از این توصیف، سیستم‌های نسبیتی و غیرنسبیتی را مورد مطالعه قرار می‌دهیم و نتایج را در ادامه ارائه می‌دهیم. همچنین می‌توان آمار متمایز را براساس نوسانات دمایی به جای نوسانات معکوس دمایی مورد مطالعه قرار داد. سپس به بررسی حالت‌های پراکندگی در فرمالیسم تغییرشکل‌یافته برای معادله دیراک می‌پردازیم. همچنین، به طور مختصر به بررسی مدل‌های هسته‌ای می‌پردازیم که عبارتند از: مدل نیلسون و مدل اندرکنش بوزونی. سپس این دو مدل را در فرمالیسم تغییرشکل‌یافته بررسی می‌کنیم. نتایج به‌دست آمده در این فرمالیسم با حذف پارامتر تغییرشکل به نتایج در فرمالیسم معمولی تبدیل می‌شوند. در انتها چشم‌اندازی از کارهای پیش رو ذکر شده است.