چکیده: در این نوشتار، ابتدا به معرفی و بررسی اجمالی ولگشت کلاسیکی روی خط می‌پردازیم. توزیع احتمال، انحراف معیار و ضریب پخش را برای آن محاسبه می‌کنیم و با ‏کمک شبیه‌سازی بعضی از این خواص را بررسی می‌کنیم. سپس به ولگشت کوانتومی روی خط می‌پردازیم. عملگر تحول را معرفی می‌کنیم و اثر آن را بر حالت ولگشت بررسی می‌کنیم. نمودار توزیع احتمال را برای این ولگشت محاسبه کرده و تفاوت آن را با ولگشت کلاسیکی نشان خواهیم داد. همین‌طور، برای مقایسه با ولگشت کلاسیکی نمودار واریانس را برای ولگشت کوانتومی رسم می‌کنیم. نشان خواهیم داد که چگونه با داشتن هر حالت و استفاده از عملگر تحول می‌توانیم حالت بعد را بسازیم. با استفاده از تبدیل فوریه، عملگر تحول را به فضای ‎k برده و در آن‌جا ویژه‌مقادیر و ویژه‌بردارهای ولگشت کوانتومی روی خط را تعیین می‌کنیم. در فصل ‎2‎ مدلی دیگر از ولگشت کوانتومی به نام ولگشت کوانتومی روی دایره ‎(چرخه)‎ را معرفی می‌کنیم. روابط تحول را برای این ولگشت نیز تعیین کرده و عملگر تحول ولگشت کوانتومی رو خط را به گونه‌ای تغییر می‌دهیم که روی ولگشتی با تعداد متناهی جایگاه همچون ولگشت روی دایره، قابل استفاده باشد. برای عملگری که به این شکل تعریف کرده‌ایم، ویژه‌مقادیر و ویژه‌بردارها را به دست می‌آوریم. سپس مفهوم توزیع حدی را معرفی می‌کنیم و تلاش می‌کنیم تا با استفاده از ویژه‌مقادیر و ویژه‌بردارهایی که پیش‌تر به دست آوردیم، یک توزیع حدی را برای ولگشت کوانتومی روی دایره به دست آورده و تحت شرایط مختلف آن را بررسی کنیم. زمان آمیختگی مفهوم دیگری است که در این فصل تعریف کرده و در ولگشت کوانتومی روی دایره برای آن حد بالایی را به دست می‌آوریم. در فصل آخر، مدل خود را از ولگشت کوانتومی با نام ولگشت کوانتومی موبیوسی ارائه می‌دهیم. این مدل در واقع نوع بهبود یافته ولگشت کوانتومی روی دایره است. در این مدل از طریق وارد کردن پارامتری به نام ‎α‎ و معرفی فضای هیلبرت جدیدی به مدل، تغییراتی در مدل ولگشت کوانتومی روی دایره ایجاد می‌کنیم که منجر به بهبود بعضی از پارامترهای مد نظر، از جمله توزیع حدی و زمان آمیختگی می‌شود. نشان می‌دهیم که چگونه ‎ α ‎ باعث بهبود این پارامترها می‌شود. تغییرات ایجاد شده توسط α را در ویژه‌مقادیر و ویژه‌بردارها بررسی می‌کنیم. شکل ورود و نحوه تاثیر آن را بر تبهگنی‌های ایجاد شده برای ویژه‌مقادیر بررسی می‌کنیم و به این ترتیب می‌توانیم ببینیم که چگونه بر پارامتری چون توزیع حدی تاثیر می‌گذارد. همین روال را در مورد زمان آمیختگی نیز تکرار می‌کنیم. در پایان فضای افزوده شده به مدل و قسمت اسپینی را به صورت درهم‌تنیده در نظر می‌گیریم و تاثیر درهم‌تنیدگی بر پارامترهای مهم را در ولگشت کوانتومی موبیوسی بررسی می‌کنیم.