چکیده: در این پایان‌نامه، مبانی نظری و کاربردی عددی چندجمله‌ای‌های برنولی در حل معادلات دیفرانسیل کسری چندجمله‌ای مورد مطالعه قرار گرفته است. ابتدا، تعریف دترمینانی جدید این چندجمله‌ای‌ها بر اساس ماتریس هم‌سنگ ارائه شده و هم‌ارزی آن با استفاده از رویکردهای کلاسیک اثبات می‌شود. سپس، با به‌کارگیری ماتریس‌های عملیاتی کسری و روش هم‌محلی، روش عددی برای حل معادلات دیفرانسیل کسری چندجمله‌ای توسعه داده می‌شود که از دقت و کارایی بالایی برخوردار است. در ادامه، با ترکیب چندجمله‌ای‌های برنولی و توابع پلاک پالس، یک روش ترکیبی نوین ارائه می‌گردد که همگرایی سریع‌تر و خطای کمتری در حل معادلات کسری خطی و غیرخطی دارد. نتایج این پژوهش گویای قابلیت بالای چندجمله‌ای‌های برنولی در ارائه جواب‌های پایدار و دقیق برای مسائل کسری در ریاضیات محض و کاربردی است.