چکیده: موضوع محوری و بنیادی رساله دکتری حاضر، بررسی همه جانبه و فراگیر کاربرد گروه‌های ‏لی و هندسه در معادلات دیفرانسیل-انتگرال کسری می‌باشد. ‏انواعی از معادلات دیفرانسیل مرتبه صحیح و کسری و معادلات دیفرانسیل-انتگرال کسری در این رساله معرفی و نیز مقدماتی از حساب دیفرانسیل کسری بیان می‌شود. در ادامه مفهوم آنالیز گروهی به معادلات معرفی شده تعمیم داده می‌شود و پس از یافتن تقارن‌های این معادلات‏، با کمک گروه‌های تقارن جواب‌های ناوردا برای این معادلات یافته می‌شود. نشان داده خواهد شد که با کمک آنالیز گروهی لی‏، قوانین پایستگی معادلات دیفرانسیل مرتبه صحیح و کسری محاسبه خواهند شد. این قوانین پایستگی راهنمای ما در یافتن جواب‌های جدید بر پایه تقارن‌ها هستند. با در نظر گرفتن شروط مناسب محک ناوردایی بی‌نهایت کوچک برای تعیین تقارن‌های لی معادلات دیفرانسیل-انتگرال مرتبه کسری با هر دو مشتق کسری کاپوتو و ریمن-لیوویل‏، ساخته می‌شود. با کمک قضیه‌ای که در این رساله اثبات شده است قوانین پایستگی معادلات-دیفرانسیل انتگرال مرتبه کسری با استفاده از تقارن‌ها به دست خواهد آمد. برای سهولت در انجام محاسبات نرم افزار میپل معرفی‏ و کاربرد آن در یافتن گروه‌های تقارن و قوانین پایستگی معادلات دیفرانسیل از مرتبه صحیح و کسری بیان خواهد شد.