چکیده: در این نوشتار، ابتدا به معرفی و بررسی اجمالی ولگشت کلاسیکی روی خط می‌پردازیم. توزیع احتمال، انحراف معیار را برای آن محاسبه می‌کنیم و با کمک شبیه‌سازی بعضی از این خواص را بررسی می‌کنیم. سپس به مطالعه ولگشت کوانتومی روی خط می‌پردازیم. عملگر تحول را معرفی می‌کنیم و اثر آن را بر حالت ولگشت بررسی می‌کنیم. نمودار توزیع احتمال را برای این ولگشت به‌دست می‌اوریم و تفاوت آن را با ولگشت کلاسیکی نشان خواهیم داد. همین‌طور برای مقایسه با ولگشت کلاسیکی نمودار واریانس را برای ولگشت کوانتومی رسم می‌کنیم. نشان خواهیم داد که چگونه با داشتن هر حالت و استفاده از عملگر تحول می‌توانیم حالت بعد را بسازیم. با استفاده از تبدیل فوریه عملگر تحول را به فضای k برده و در آن‌جا ویژه‌مقادیر و ویژه‌بردارهای ولگشت کوانتومی روی خط را تعیین می‌کنیم. علاوه بر این در ادامه فصل روشی را برای کلاسیکی کردن رفتار ولگشت کوانتومی روی خط بررسی می‌کنیم. نشان می‌دهیم که با استفاده از چندین سکه کوانتومی و در نتیجه کم شدن اثرات تداخل بین مسیرها برای حرکت ولگشت این کار امکان‌پذیر می‌باشد. جواب‌ها را برای سیستم تک سکه به‌دست می آوریم و این جواب‌ها را با شبیه سازی عددی مقایسه می‌کنیم. در فصل بعد به معرفی نوع خاصی از ولگشت کوانتومی خواهیم پرداخت که به آن ولگشت کوانتومی حافظه‌دار می گویند، در این نوع ولگشت کوانتومی رفتار آینده ولگشت متاثر از گذشته آن است و خواص متفاوتی را ایجاد می کند. در این فصل به معرفی این نوع ولگشت کوانتومی و تفاوت‌های آن با ولگشت‌های معمولی پرداخته و سعی خواهیم کرد تاثیرات انواع مختلف حافظه بر ولگشت‌های کوانتومی را بررسی کنیم. در فصل آخر نوعی از ولگشت کوانتومی یک بعدی را معرفی می‌کنیم که آن را ولگشت کوانتومی شتاب‌دار می‌نامیم. در این نوع ولگشت، فضای هیلبرت دیگری به سیستم اضافه می‌شود. بدین ترتیب پارامتر سرعت را برای این نوع ولگشت تعریف می‌کنیم که تغییرات این پارامتر با توجه به حالت سکه خواهد بود و از طرفی عملگرها را به گونه‌ای بازتعریف می‌کنیم که تغییر مکان وابسته به سرعت درنظرگرفته ‌شود و تغییرات حاصل از این وابستگی را در رفتار ولگشت نسبت به ولگشت‌های کوانتومی معمولی بررسی خواهیم کرد. وجود فضای هیلبرت سرعت در ولگشت های کوانتومی، راه را برای تعریف و آزمون انواع مختلفی از این نوع ولگشت باز می‌کند که دو نوع ولگشت با سرعت حدی و ولگشت با سرعت چرخه‌ای در این پایان‌نامه به صورت عددی بررسی شده‌اند.