چکیده: با توجه به اهمیت معادله برگر و کاربرد آن در فیزیک و مهندسی و ماهیت غیرخطی این معادله با مشتقات جزئی، در این رساله ابتدا یک روش عددی کارا براساس روش شبه طیفی چبیشف برای این معادله ارائه می‌دهیم، سپس، مساله کنترل بهینه تحت این معادله را در نظر گرفته و شرایط بهینگی متناظر این مساله را بیان می‌کنیم. در ادامه، با روش شبه طیفی چبیشف و شرایط بهینگی به دست آمده یک جواب بهینه تقریبی برای مساله به دست می‌آوریم. همچنین در این رساله، همگرایی روش شبه طیفی چبیشف برای معادله برگر و کنترل بهینه آن را نیز مورد بررسی قرار می‌دهیم. به‌علاوه، جواب‌های تقریبی برای معادله برگر کسری با روش شبه طیفی چبیشف کسری به دست می‌آوریم. در نهایت، به‌ترتیب به مطالعه و آنالیز یکتایی و وجود جواب‌های معادله برگر کسری و مساله کنترل بهینه تحت این معادله می‌پردازیم و قضایای مرتبط با آن را ثابت می‌کنیم.