چکیده: در این پایان‌نامه ابتدا تعاریف و قضایای اصلی مربوط به بهینه‌سازی برداری و بهینه‌سازی چندهدفه را معرفی می‌کنیم، با توجه به اهمیت جواب‌های کارای سره به معرفی کارایی سره به مفهوم جفرین، کارایی سره به مفهوم بنسن و کارایی سره به مفهوم هنیگ می‌پردایم و چند روش برای حل مساله چند هدفه ارایه می‌دهیم‎. مفهوم جواب‌های تقریبی نقش مهمی را در بهینه‌سازی بردای زمانی‌که جواب دقیقی وجود ندارد ایفا می‌کنند، بنابراین کارایی تقریبی به نام ‎-E ‎کارایی را بر پایه مجموعه‌ جامع فوقانی بیان می‌کنیم و بر پایه خواص مجموعه‌های بهبود یافته انواع مختلفی ازE ‎-کارایی شامل ‎-E ‎کارایی توسط نگاشتφ_(q,E)‎ ، ای کارایی سره بنسن وE-کارایی توسط نگاشت ‎∆_-K ارایه و ویژگی‌های آن‌ها را بررسی می‌کنیم. در ادامه با تعریف نگاشت‌های مجموعه-مقدار بهینه‌سازی توسط این نگاشت‌ها را بیان و مفهوم شبه زیر تحدب را برای نگاشت‌های مجموعه-مقدار توسط مجموعه‌های بهبود یافته معرفی می‌کنیم و قضایایی را تحت فرض ‎-Eشبه زیر محدب ارایه می‌دهیم. سپس قضایای ضرایب لاگرانژ ‎-Eکارایی سره بنسون را بیان می‌کنیم و با همین روند جوابE-بهینه ضعیف را برای بهینه‌سازی برداری بررسی و قضایای مربوط به آن شامل قضیه اسکالرسازی و قضیه ضریب لاگرانژ را بررسی می‌کنیم. در انتها با معرفی نقاط ‎E-زینی ضعیف برای نگاشت‌های لاگرانژ مجموعه مقدار و مفهوم E-دوگانی ضعیف به بررسی ویژگی‌ها و قضایای مربوط به این مفاهیم می‌پردازیم‎.